EKUIVALENSI LOGIKA INFORMATIKA

Ekuivalen adalah dua atau lebih pernyataan majemuk  yang memiliki nilai kebenaran yang sama.Dua kalimat disebut ekuivalen (secara logika) bila dan hanya bila keduanya mempunyai nilai kebenaran yang sama untuk semua substitusi nilai kebenaran masing-masing kalimat penyusunnya.

Jika p dan q adalah kalimat-kalimat yang ekuivalen, maka dituliskan p º q.  Jika p º q maka q º p juga.

Dua atau lebih pernyataan majemuk yang mempunyai nilai kebenaran sama disebut ekuivalensi logika dengan notasi “  dua buah pernyataan majemuk dikatakan ekuivalen, jika kedua pernyataan majemuk itu mempunyai nilai kebenaran yang sama untuk semua kemungkinan nilai kebenaran pernyataan-pernyataan komponen-komponennya.

           EKUIVALEN LOGIS ( ≡ )

Kapan dikatakan suatu ekspresi logika ekuivalen logis???

1.      Jika kedua ekspresi logika adalah Tautologi ( T dan T pada Tabel Kebenaran ).

2.      Jika kedua ekspresi logika adalah Kontradiksi ( F dan F pada Tabel Kebenaran ).

3.      Pada Contingen, jika urutan T dan F atau sebaliknya pada Tabel Kebenaran tetap pada urutan yang sama.

Contoh 1 :

(1). Indah sangat cantik dan peramah.

(2). Indah peramah dan sangat cantik.

Kedua pernyataan diatas, tanpa pikir panjang, akan dikatakan ekuivalen atau sama saja. Dalam bentuk ekspresi logika dapat ditampilkan berikut ini :

A = Indah sangat cantik

B = Indah itu ramah

Ekspresi logikanya adalah :                (1). A ^ B

                                                            (2). B ^ A

Jika dikatakan kedua ekspresi logika tersebut ekuivalen secara logis, maka dapat ditulis : ( A ^ B ) ≡ ( B ^ A )

Ekuivalen logis dari kedua ekspresi logika dapat dibuktikan dengan Tabel Kebenaran :

Contoh  2 :

(1). Badu tidak pandai, atau dia tidak jujur.

(2). Adalah tidak benar jika Badu pandai dan jujur.

Secara intuitif dapat ditebak kalau kedua pernyataan diatas sebenarnya sama saja, tetapi bagaimana jika dibuktikan dengan tabel kebenaran berdasarkan ekspresi logika.

A = Badu pandai

B = Badu jujur

Ekspresi logikanya adalah :  (1). ¬ A v ¬ B                            (2). ¬( A ^ B )

Dengan tabel kebenaran dapat dibuktikan bahwa kedua ekspresi logika di atas ekuivalen.

Ekspresi logika diatas belum dikatakan ekuivalen logis meskipun nilainya di tabel kebenaran sama.

Untuk menjadikannya ekuivalen logis maka digunakan perangkai ekuivalensi antara kedua ekspresi logika tersebut, dan akhirnya menghasilkan tautology.

           KOMUTATIF DAN ASOSIATIF

Ø  Komutatif

Ciri-cirinya :

1.      Variabel kedua proposisi dapat saling berganti tempat tanpa mengubah nilai kebenaran dari kedua ekspresi.

Ex :   ( A ^ B ) ≡ ( B ^ A)

         ( A ↔ B ) ≡ ( B ↔ A )

2.      Perangkai Konjungsi ( ^ ), Disjungsi ( v) dan Ekuivalensi ( ↔ ) bersifat komutatif

3.      Perangkai Implikasi ( → ) tidak bersifat komutatif dengan dibuktikan dari tabel kebenaran

Ex :      ( A → B ) dengan ( B → A ) tidaklah ekuivalen.

Ø  Asosiatif

Ciri – cirinya :

1.       Mengacu pada pemindahan tanda kurung dan tidak mengubah nilai kebenarannya.

Ex : ( ( A ^ B ) ^ C ) ≡ ( A ^ ( B ^ C ) )          >> Buktikan dengan Tabel Kebenaran

2.       Biasanya terjadi pada perangkai yang sama ( Disjungsi, Konjungsi dan Ekuivalensi )

Ex : ( ( A v B ) v C ) ≡ ( A v ( B v C ) )

3.       Pengecualian pada Perangkai Implikasi ( → )

Ex : ( ( A → B ) → C ) tidak sama  ( A → ( B → C ) )         >> Buktikan dengan Tabel Kebenaran

4.       Jika perangkainya berbeda pada satu ekspresi logika tidak bisa memindahkan tanda kurung dengan sembarangan.

Ex : ( ( A ^ B ) v C ) dan ( A ^ ( B v C ) ) tidaklah sama.   >> Buktikan dengan Tabel Kebenaran

       HUKUM-HUKUM EKUIVALENSI LOGIKA:

1.     Hukum komutatif:

      p ^  q  q ^ p

      p v q q v p

2.   Hukum asosiatif:

      (p ^ q) ^  r  p ^ (q ^ r)

      (p v q) v r  p v (q v r)

3.   Hukum distributif:

      p ^  (q v r)  (p ^ q) v (p ^ r)

      p v (q ^ r)  (p v q) ^ (p v r)

4.   Hukum identitas:

      p ^ T  p

      p v F  p

5.   Hukum ikatan (dominasi):

      P v T  T

      P v F  F

6.   Hukum negasi:

      P v ~p  T

      P ^ ~p  F

7.   Hukum negasi ganda (involusi):

      ~(~p)  p

8.   Hukum idempoten:

      P ^ p  p

      p v p  p

9.   Hukum de morgan:

      ~( p ^ q)  ~p v ~q

      ~(p v q)  ~p ^ ~q

10. Hukum penyerapan (absorpsi):

      p v (P ^ q)  p

      P ^ (p v q)  p

11. Hukum T dan F:

      ~T  F

      ~F  T

12.  Hukum implikasi ke and/or:

      P  q  ~p v q[1][5]

Dengan adanya hukum-hukum diatas, penyelesaian soal-soal baik yang bersifat tautologi, kontradiksi dan ekuivalensi logika tidak hanya menggunakan tabel kebenaran namun juga bisa dengan menggunakan jalan penurunan yaitu dengan memanfaatkan 12 (dua belas) hukum-hukum ekuivalensi logika tersebut.

Dengan menggunakan prinsip-prinsip di atas, maka kalimat-kalimat yang kompleks dapat disederhanakan, seperti contoh berikut:

1.      Buktikan ekuivalensi berikut: ~(p v ~q) v (~p ^ ~q) ≡  ~p

Jawab:

~(p v ~q) v (~p ^ ~q) ≡  (~p ^ q) v (~p ^ ~q)

                                      ~p^(q v ~q)

                                      ~p ^ T

                                      ~p ...........(terbukti)

2.      Tunjukkan bahwa:  ~(p v q) ≡ (~p ^ ~q)

Tabel kebenaran ~(p v q) dan (~p ^ ~q) yaitu:

p	q	~p	~q	p v q	~(p v q)	(~p ^ ~q)
B B S S	B S B S	S S B B	S B S B	B B B S	S S S B	S S S B

(1)               (2)         (3)      (4)         (5)                (6)                        (7)  

Dari tabel diatas pada kolomk (6) dan (7), jelas bahwa ~(p v q)  (~p ^ ~q). Jadi, ~(p v q)  (~p ^~q).

Dalam membuktikan ekuivalensi pºq ada 3 macam cara yang bisa dilakukan :

1.      P diturunkan terus menerus (dengan menggunakan hukum-hukum ekuivalensi logika yang ada).

2.      Q diturunkan terus-menerus (dengan menggunakan hukum-hukum ekuivalensi logika yang ada), sehingga didapat P.

3.      P dan Q diturunkan secara terpisah sehingga akhirnya didapat R

Sebagai aturan kasar, biasanya bentuk yang lebih kompleks yang diturunkan ke dalam bentuk yang sederhana. Jadi jika p kompleks amaka aturan (1) yang dilakukan. Sebaliknya jika yang lebih kompleks maka aturan (2) yang dilakukan. Aturan (3) digunakan jika p dan q sama-sama kompleks.

---