First order logic adalah sebuah bahasa formal yang
digunakan di ilmu matematika, philosophy, bahasa dan ilmu computer. Disebut
juga kalkulus predikat, merupakan logika yang digunakan untuk merepresentasikan
masalah yang tidak dapat direpresentasikan dengan menggunakan proposisi. Logika
predikat dapat memberikan representasi fakat-fakta sebagai suatu pernyataan
yang mapan (well form). Kalkulus predikat bisa menganalisakan
kalimat-kalimat ke dalam subjek dan argumen dalam berbagai cara yang
berbeda-beda, yang pada akhirnya kalkulus predikat bisa digunakan untuk
memecahkan problem of multiple generality (masalah dalam berbagai
keadaan umum) yang telah membingungkan sebagian besar ahli-ahli logika abad
pertengahan. Dengan menggunakan logika predikat ini, untuk pertama kalinya,
para ahli-ahli logika bisa memberikan quantifier yang cukup umum untuk
merepresentasikan semua argumen yang terdapat pada natural language.
Pemisalan
1:
Semua
gajah punya belalai. Bona seekor gajah. Dengan Demikian, Bona punyabelalai
Tanpa
perlu dibuktikanvaliditasnya, argument tersebut valid karena Conclusi
mengikutiPremis-premisnya.
Pemisalan2:
Semua
siswa pasti pandai. Adi seorang siswa. Dengan demikian, Adi pastipandai.
Secara
nalar bisadilihat bahwa argument tersebut mempunyai validitas yang kuat. Tapi
ketikadibuktikan dengan Logika Proposional, argument tersebut tidak
bisadiselesaikan. Dibuktikan dengan logika proposional:
p : Semua
mahasiswa pasti pandai.(Premis 1)
q : Kinoy
seorang mahasiswa.(Premis 2)
r : Dengan
demikian, Kinoy pastipandai. (Conclusi)
Dibuat
dalam formuladengan operator AND menjadi . Formula tersebut tidak ada dalam
hukum-hukum logikaproposisi yang dapat digunakan untuk mendukung validitas
argument tersebut,karena tidak ada yang bisa digunakan untuk menghubungkan
ketiga pernyataandiatas. Dan tidak mungkin juga suatu kesimpulan yang berbeda
dihasilkan daripremis yang berbeda.
Pemisalan3:
Setiap
manusia pasti mati. Karena Sayuti adalah manusia, maka dia pastimati.
Secara
intuisi kalimattersebut bernilai Benar. Berdasarkan logika proposisi kalimat
tersebut dapat disimbolkan sebagai:
p : Setiap manusia pasti mati
q : Sayuti adalah manusia
r : Sayuti pasti mati
Berdasarkan kerangka berfikir Logika Proposisi bukanlah konsekuensi
Logis dari pdan q. Pernyataan ‘Setiap manusia pasti mati’ mengandungpernyataan
Himpunan, yaitu Himpunan ‘manusia’, dimana individu yang merupakanbagian dari
himpunan manusia jumlahnya tidak terhingga. Sedangkan pernyataan ‘Sayuti adalah
manusia’ secara implisitmenyatakan anggota dari himpunan ‘manusia’/ universal
of discourse.
Struktur sepertidiatas tidak dikenali oleh Logika Proposisi,
karena apabila ingin membuktikankebenaran dari pernyataan ‘Setiap manusiapasti
masti’ maka harus dicari nilai kebenaran dari seluruh elemen himpunanmanusia
yang jumlahnya tak terhingga. Ini tidak mungkin dilakukan.
Untuk mengatasipermasalahan diatas diperlukan kerangka
berfikir lain selain Logika Proposisiyaitu Logika First-Order (Kalkulus
Predikat). Maka dapat didefinisikan bahwa LogikaFirs-Order adalah perluasan
dari konsep Logika Proposisi untuk mengatasipermasalahan yang tidak dapat
dipecahkan melalui kerangka berfikir LogikaProposisi dengan penambahan 3
komponen logika yaitu: Term (suku), Predicate,dan Quantifier.
Dasar Logika First-Order
Logika
First-Orderdigunakan untuk merepresentasikan hal-hal yang tidak dapat
direpresentasikan menggunakan LogikaProposisi. Operator-operator yang digunakan
pada Logika First-Order adalah
SIMBOL
ARTI
BENTUK
Implies /
Maka / Implikasi
jika …
maka …
Not /
Tidak / Negasi
tidak …
And / Dan
/ Konjungsi
… dan …
Or / Atau
/ Disjungsi
… atau …
Universal
Quantifier
Untuk
setiap / seluruh
Existensial
Quantifier
Terdapat /
ada
x
Term
-
Term /
Suku
Term
adalah parametersuatu fungsi bisa berupa konstanta, variabel, dan nilai suatu
fungsi. Bentukterm adalah:
P (x).
Dimana P
adalahPredikat (ditulis dengan huruf besar) dan x adalah variabel
(ditulisdengan huruf kecil). P(x) dapat disebut sebagai nilai darifungsi
proposisi P pada x. Ketika nilai variabel x telah ditetapkan maka barulah
P(x)memiliki nilai kebenaran.
UniversalQuantifier
Definisi:
Jika Asuatu ekspresi logika dan x adalah variable, maka jika ingin
menentukanbahwa A adalah bernilai benar untuk semua nilai yang dimungkinkan untuk
x,maka akan ditulis. Disini disebut kuantoruniversal, dengan A adalah
scope dari kuantor tersebut. Variabel xdisebut terikat (bound) dengan kuantor.
Simbol
UniversalQuantifier menggantikan kata ‘untuksemua’, ‘untuk seluruh’.Dan
digunakan pada pembentukan formula dengan bentuk:
(x) P(x)
(x)
P(x) bernilai benar apabila predikat P(x)bernilai benar. Formula tersebut dapat
dibaca sebagai ‘Seluruh x untuk P(x)’ atau ‘Setiap x untuk P(x)’
Contoh:
“Semua
Gajah mempunyai belalai”Jika G adalah gajahdan B adalah belalai maka ditulis
dalam kuantor universal menjadi , dibaca “Jika x adalah Gajah maka, x mempunyai
belalai”.Belum bisa dibuktikan secara predikat karena jumlah gajah bisa banyak
bisa sajacuma satu, maka diperluas menjadi , dibaca “Untuk semua x, jika x
seekor gajah, maka xmempunyai belalai”.
“Semua
mahasiswa harus rajin belajar”Langkah1: Cari lingkupatau scope dari kuantor
universal, pada argument diatas menjadi “Jika x adalahmahasiswa, maka x harus
rajin belajar” ditulis menjadi .
Langkah2:
Beri kuantoruniversal didepannya, dari hasil yang didapat pada langkah pertama
menjadi
Langkah3:
Ubah menjadisuatu fungsi, menjadi
ExistentialQuantifier
Definisi:
Jika Asuatu ekspresi logika dan x adalah variable, maka jika ingin menentukanbahwa
A adalah bernilai benar untuk sekurang-kurangnya satu dari x,maka akan ditulis
. Disini disebut kuantoreksistensial, dengan A adalah scope dari kuantor
tersebut. Variabel xdisebut terikat (bound) dengan kuantor.
Simbol
ExistentialQuantifier menggantikan kata ‘ada’, ‘beberapa’, ‘tidaksemua’,
‘terdapat’.Dan digunakan pada pembentukan formula dengan bentuk:
(x) P(x)
(x)
P(x) bernilai benar apabila ada x yang menyebabkan P(x)bernilai benar. Formula
tersebut dapat dibaca sebagai ‘Ada x untuk P(x)’
Contoh:
“Ada
bilangan prima yang genap”Jika P adalah bilangan‘prima’ dan G adalah ‘genap’,
argumen tersebut dapat dibaca “Ada x, yang xadalah bilangan prima dan x adalah
genap”, sehingga disimbolkan menjadi .
“Ada
pelajar memperoleh beasiswa prestasi”Langkah1: Cari lingkupatau scope dari
kuantor eksistensial, pada argument diatas menjadi “Ada x, yang x
adalahpelajar, dan x memperoleh beasiswa prestasi”, sehingga ditulis menjadi
Langkah2:
Berilahkuantor eksistensial di dari hasil yangdidapat pada langkah
pertama menjadi
Langkah3:
ubah menjadisuatu fungsi, menjadi
6.3 Transformasi
Pernyataan Kedalam FormulaFirst-Order
Langkah-langkahmen-transformasi
penyataan kedalam formula First-Order adalah sebagai berikut:
1.
Buat penafsiran mengenaipernyataan tersebut
2.
Tentukan dan deklarasikanpredikat-predikat yang digunakan
3.
Tentukan quantifier yangdiperlukan
Hal yang
perludiperhatikan adalah penafsiran atau cara pandang kita dalam
menafsirkanpernyataan tersebut. Penafsiran yang berbeda akan menghasilkan
formula yang berbeda. Kadang dalammentransformasikan sebuah pernyataan kedalam
formula first-order diperlukanquantifier lebih dari satu.
Contoh:
1.
Tentukan nilai dari Plus(Plus(3,2), Plus (2,1)).
Jawab:
PLUS (PLUS
(3,2), PLUS (2,1))
= PLUS (5,
PLUS (2,1))
=PLUS (5,3)
=8
2.
Tuliskan pernyataan berikutkedalam bentuk formula
a. Setiap bilangan
Rasional adalahbilangan Real
b. Ada bilangan
yang merupakan bilangan prima
c. Untuk setiap bilangan
x, ada bilangan y dimana x < y
Jawab:
Langkahpertama
definisikan dulu predikat-predikat
P(x)
: x adalah
bilangan prima
Q(x)
: x adalah bilangan
rasional
R(x)
: x adalah
bilangan real
KECIL(x)
:x lebih kecil dari y
a.
(x) (Q(x) R(x))
b.
(x) P(x)
c.
(x) (y) KECIL (x,y)
3.
Ubahlah pernyataan “Tidak ada orang tua menginginkan anaknyajadi penjahat”
kedalam bentuk formula first-order.
Jawab:
Kalimattersebut
ekuivalen dengan:
“Jika x
adalah orang tua, maka x tidakingin anaknya jadi penjahat”
Predikatyang
digunakan:
P(x) :
xadalah orang tua
Q(x)
:xingin anaknya jadi penjahat (gunakan operator Negasi)
FormulaFirst-Order:
(x) (P(x) Q(x))
4.
Tuliskan dalam bentuk formulapernyataan berikut “x lebih besar dari y”
Jawab:
Interpretasi
ke-1:Jika ditafsirkan bahwa “untuk setiap xada y yang lebih kecil” maka kita
bisa menyatakan x > y, makaPredikatnya: BESAR(x,y) maka formulanya menjadi:
(x) ((y) BESAR(x,y)
Interpretasi
ke-2: Jikaditafsirkan “untuk sembarang x dan y,jika x lebih besar dari y, maka
tidak benar pernyataan y lebih besar dari x”maka formulanya menjadi: (x) (y)
(BESAR(x,y) BESAR(y,x))
6.4 Pembuktian
pada Logika First-Order
Pembuktian
LogikaFirst-Order hampir sama dengan pembuktan pada Logika Proposisi. Hanya
saja padaLogika First-Order pembuktian menggunakan Aturan Inferensi lebih
mungkin untukdilakukan.
Contoh:
Buktikan
bahwa “Setiap manusia pasti mati. Sayuti adalahmanusia, Karenanya Sayuti
pasti mati.”
Jawab:
Misal
dideklarasikanpredikat berikut:
MAN(x)
:x adalah manusia
MORTAL(x)
:x pasti mati
Maka
pernyataan padasoal menjadi:
P1
:(x)
(MAN(x) MORTAL(x))
P2
:MAN(Sayuti)
Untuk
membuktikanbahwa kesimpulan “Sayuti pasti mati”harus dibuktian bahwa
MORTAL(Sayuti) adalah konsekuensi logis dari P1dan P2. Maka;
Dilakukan
pembuktianlangsung:
P1P2
: (x) (MAN(x) MORTAL(x)) MAN(Sayuti)
Karena
(MAN(x) MORTAL(x))bernilai Benar untuk semua x maka;
(MAN(Sayuti) MORTAL(Sayuti))juga Benar
(x) (MAN(x)MORTAL(x))
MAN(Sayuti)
(MAN(Sayuti)MORTAL(Sayuti))
MORTAL(Sayuti)
Premis P1
Premis P2
Langkah 1 dan
2
P1: x
Sayuti
Persoalan Logika First-Order dalam
AI
Logika
First-Order digunakan dalam ilmu IntelejensiBuatan sebagai Representasi
Pengetahuan. Persolan yang ada memiliki pernyataanlebih kompleks lagi tapi
dapat diselesaikan dengan Pelacakan Terbalik(Backward)
Contoh:
Diberikanpernyataan sebagai berikut:
1. Andi
adalah seorang mahasiswa
2. Andi
masuk jurusan Informatika
3. Setiap
mahasiswa Informatikapasti mahasiswa Teknik
4. Kalkulus
adalah matakuliah yangsulit
5. Setiap
mahasiswa teknik pastiakan suka kalkulus atau akan membencinya
6. Setiap
mahasiswa pasti akansuka terhadap suatu matakuliah
7. Mahasiswa
yang tidak pernahhadir pada kuliah matakuliah sulit, maka mereka pasti tidak
suka terhadapmatakuliah tersebut
8. Andi
tidak pernah hadir kuliahmatakuliah kalkulus.
Buktikan
Apakah Andi suka matakuliah kalkulus?
Jawab:
Ubah
pernyataan menjadi bentuk formula:
1. Mahasiswa(Andi)
2. Informatika(Andi)
3. x:
Informatika(x)Teknik(x)
4. sulit(kalkulus)
5. x:
Teknik(x)suka(x, kalkulus) benci(x, kalkulus)
6. x:
y: suka(x,y)
7. x:
y: mahasiswa(x)sulit(y)hadir(x,y) suka(x,y)
8. hadir(Andi,kalkulus)
Pernyataan
Apakah Andi suka matakuliah kalkulus = suka(Andi,kalkulus)
ARGUMEN PADA LOGIKA PREDIKAT
Validitas sebuah argumen dapat
dibuktikan dengan contoh yang mirip dengan contoh 1. perhatikan contoh argumen
berikut:
Contoh 2:
1. Semua mahasiswa pasti pandai
2. Badu seorang mahasiswa
3. Dengan demikian, Badu pandai
Secara nalar, kebanyakkan orang akan
menilai bahwa argumen di atas mempunyai validitas yang kuat. Akan tetapi, saat
validitas tersebut ingin dibuktikan dengan logika proposisional, ternyata tidak
bisa diselesaikan. Pembuktiannya dapat dilakukan dengan mengikuti prosedur logika
proposisional dengan menentukan terlebih dahulu proposisi-proposisinya :
A = Semua mahasiswa pasti pandai
B = Badu seorang mahasiswa
C = Badu pasti pandai
Selanjutnya akan menjadi seperti
berikut :
A
B
_____
:. C
Dalam ekspresi logika : (A ˄
B)=>C
Dalam bentuk ekspresi logika diatas,
tidak ada hukum-hukum logika proposisional yang dapat digunakan untuk
membuktikan validitas argumen tersebut karena tidak ada yang mampu
menghubungkan antara ketiga proposisi yang digunakan diatas. Atau tidak mungkin
suatu kesimpulan yang berbeda dapat dihasilkan dari premis-premis yang
berbeda. Dengan kata lain, tidak mungkin suatu kesimpulan berupa C dapat
dihasilkan dari premis A dan premis B.
Jika argumen diatas masih ingin
dibuktikan dengan logika proposisional, maka kalimatnya harus diperbaiki. Misal
seperti berikut:
Contoh 3:
1.
Jika Badu seorang mahasiswa, maka ia
pasti pandai
2.
Badu seorang mahasiswa
3.
Dengan demikian, ia pasti pandai
Jika diubah dalam bentuk ekspresi
logika :
1.
B=>C premis 1
2.
B
premis 2
3.
C
kesimpulan
Atau dapat juga ditulis : [(B=>C)
˄ B] => C
Dalam logika proposisional, ekspresi
logika diatas sudah benar karena kesimpulan diambil dari premispremis.
Persoalan yang terjadi adalah pernyataan tersebut tidak sepenuhnya mampu
menangkap ide pada argumen yang pertama yaitu “Semua mahasiswa pandai”. Ide
pada pernyataan tersebut tidak tertangkap pada argumen kedua karena hanya mampu
menunjuk seorang mahasiswa yaitu Badu, bukan semua mahasiswa. Persoalan lain
juga terjadi, yakni kesulitan menentukan objek. Misalnya orang yang dimaksudkan
jika diganti dengan kata ganti orang. Perhatikan pernyataan-pernyataan pada
contoh argumen berikut:
Contoh 4:
1.
Jika Badu seorang mahasiswa, maka ia
pasti pandai
2.
Dewi seorang mahasiswa
3. Dengan demikian, ia pasti pandai
0 Comments