LOGIKA MATEMATIKA : PERNYATAAN

v  LOGIKA

Logika Informatika 

Logika berasal dari bahasa Yunani, yaitu logos yang artinya kata, ucapan atau alasan. Jadi, logika adalah ilmu untuk berfikir dan menalar dengan benar. Istilah-istilah logika. Ada beberapa istilah yang akan digunakan dalam logika informatika yaitu :

·         Premis : yaitu sebuah pernyataan

·         Argumen : usaha untuk mencari kebenaran dari premis berupa kesimpulan

·         Konklusi : Kesimpulan

v  PERNYATAAN (PROPOSISI)

Kata merupakan rangkaian huruf yang mengandung arti, sedangkan kalimat adalah kumpulan kata yang disusun menurut aturan tata bahasa dan mengandung arti. Di dalam matematika tidak semua pernyataan yang bernilai benar atau salah saja yang digunakan dalam penalaran. Pernyataan disebut juga kalimat deklaratif yaitu kalimat yang bersifat menerangkan.

v  KALIMAT PERNYATAAN

Kalimat Pernyataan adalah kalimat yang sudah bisa ditentukan nilainya, baik benar maupun salah. Contoh :

1.       Yogyakarta adalah kota pelajar                (Benar).

2.       2+2=4                                                        (Benar).

3.       Semua manusia adalah fana                      (Benar).

4.       4 adalah bilangan prima                            (Salah).

5.       5x12=90                                                    (Salah).

v KALIMAT TERBUKA

Kalimat Pernyataan adalah kalimat yang belum bisa ditentukan nilainya, baik benar maupun salah. Contoh :

1.   Dimanakah letak pulau bali?.

2.   Pandaikah dia?.

3.   Andi lebih tinggi daripada Tina.

4.   3x-2y=5x+4.

5.   x+y=2.

v  PENALARAN

Penalaran dalam materi ini dibedakan menjadi 2 yaitu :

·         Penalaran Deduktif

Penalaran Deduktif yaitu penalaran yang didasarkan premis-premis yang diandaikan benar untuk menarik kesimpulan.

Contoh: 

1.      Semua mahasiswa baru mengikuti ospek.

2.      Galang adalah mahasiswa baru.

Kesimpulannya : Galang mengikut ospek.

·         Penalaran Induktif

Penalaran induktif adalah penalaran yang didasarkan pada premis-premis yang bersifat faktual untuk menarik kesimpulan yang bersifat umum.

contoh:

premis 1          : ayam  1   berkembang biak dengan telur

premis 2          : ayam  2   berkembang biak dengan telur

...

...

...

premis 50        : ayam 50  berkembang biak dengan telur

Kesimpulannya : semua ayam berkembang biak dengan telur

v  PENGHUBUNG KALIMAT DAN TABEL KEBENARAN

KATA HUBUNG KALIMAT

Simbol	Arti	Bentuk
¬/~	Tidak/Not/Negasi	Tidak………….
^	Dan/And/Konjungsi	……..dan……..
v	Atau/Or/Disjungsi	………atau…….
=>	Implikasi	Jika…….maka…….
< =>	Bi-Implikasi	……..bila dan hanya bila……..

TABEL KEBENARAN

p	q	~p	~q	p^q	pvq
B	B	S	S	B	B
B	S	S	B	S	B
S	B	B	S	S	B
S	S	B	B	S	S

v  INGKARAN (NEGASI) SUATU PERNYATAAN,KONJUNGSI,DISJUNGSI

A. NEGASI (INGKARAN)

Jika p adalah “ Semarang ibukota Jawa Tengah”, maka ingkaran atau negasi dari pernyataan p tersebut adalah ~p yaitu “ Semarang bukan ibukota Jawa Tengah” atau “Tidak benar bahwa Semarang ibukota Jawa Tengah”. Jika p diatas bernilai benar (true), maka ingkaran p (~p) adalah bernilai salah (false) dan begitu juga sebaliknya.

Contoh:
a.  p     : semua siswa punya almamater

     ~ p : beberapa siswa tidak punya almamater

b.  q     : uki anak yang pandai

     ~ q : uki bukan anak yang pandai

B. KONJUNGSI

Konjungsi adalah suatu pernyataan majemuk yang menggunakan penghubung “DAN/AND” dengan notasi “^”.

Contoh:

a.  p  : Galang itu ganteng

     q  : Galang itu pandai

     Maka p^q : Galang itu ganteng dan pandai

b.  p  : Bokir anak yang pemalas

q  : Bokir anak yang nakal

Maka p^q   : Bokir anak yang pemalas dan nakal

Pada konjungsi p^q akan bernilai benar jika baik p maupun q bernilai benar. Jika salah satunya (atau keduanya) bernilai salah maka p^q bernilai salah.

C. DISJUNGSI

Disjungsi adalah pernyataan majemuk yang menggunakan penghubung “ATAU/OR” dengan notasi “v”.

Kalimat disjungsi dapat mempunyai 2 arti yaitu :

Ø  INKLUSIF OR

Yaitu jika “p benar atau q benar atau keduanya true”

Contoh  :

p : 7 adalah bilangan prima

q : 7 adalah bilangan ganjil

p v q: 7 adalah bilangan prima atau ganjil

Benar bahwa 7 bisa dikatakan bilangan prima sekaligus bilangan ganjil. Biasanya kalimatnya saling berkaitan.

Ø  EKSLUSIF OR

Yaitu jika “p benar atau q benar tetapi tidak keduanya”.

Contoh :

     p : Saya akan melihat pertandingan bola di TV.

     q : Saya akan melihat pertandingan bola di lapangan.

     p v q : Saya akan melihat pertandingan bola di TV atau di lapangan.

Hanya salah satu dari 2 kalimat penyusunnya yang boleh bernilai benar yaitu jika “Saya akan melihat pertandingan sepak bola di TV” saja atau di lapangan saja tetapi tidak keduanya.

SOAL DAN PEMBAHASAN

1.      Buatlah contoh kalimat pernyataan!

Jawab :

-          Ayam berkembang biak dengan bertelur (Benar)

-          Angka 7 adalah bilangan prima (Benar)

-          Semua makhluk hidup pasti akan mati (Benar)

-          1 + 6 = 8 (Salah)

Kalimat-kalimat diatas merupakan kalimat pernyataan karena nilainya dapat ditentukan nilainya, baik benar maupun salah.

2.      Buatlah contoh kalimat terbuka!

Jawab :

-          Joko lebih tinggi daripada Leni

-          x + y = 7

-          Dian orang yang pandai

Kalimat-kalimat diatas merupakan kalimat terbuka karena kalimat diatas belum bisa ditentukan nilainya, apakah benar atau salah.

3.      Tuliskan disjungsi dari pernyataan berikut, dan tentukan jenis disjungsi kalimat tersebut berdasarkan artinya !

a.       p  : Tina akan berenang di kolam renang

q  : Tina akan berenang di sungai

b.  p   : Bokir adalah seorang tukang parkir

      q  : Bokir adalah orang pandai

Jawab:

a.       p v q = Tina akan berenang di kolam renang atau di sungai.

Kalimat tersebut termasuk kalimat disjungsi Ekslusif OR

b.      p v q = Bokir adalah tukang parkir atau orang yang pandai.

Kalimat tersebut merupakan kalimat disjungsi Inklusif OR

4.      Tuliskan konjungsi dari pernyataan berikut !

a.       p  : Tina itu pandai

q  : Tina itu suka berbohong

b.  p   : Bokir adalah seorang tukang parkir

      q  : Bokir berasal dari Comal

c.  p   : 1 adalah bilangan prima

      q  : 1 adalah bilangan ganjil

Jawab :

a.       Tina itu pandai dan suka berbohong.

b.      Bokir adalah tukang parkir dan berasal dari comal

c.       1 adalah bilangan prima dan ganjil

5.      Jelaskan negasi dari kalimat berikut !

a.       P ^ Q

b.      Sueb adalah pengusaha

c.       Sueb adalah pengusaha atau Sueb adalah dosen STMIK

d.      Wastro bukan lulusan sarjana dan  Wastro adalah tukang parkir

Jawab :

a.       ~P v ~Q

b.      Sueb bukan pengusaha

c.       Sueb bukan pengusaha dan bukan dosen STMIK

d.      Wastro adalah lulusan Sarjana atau bukan tukang parkir

6.      Buatlah tabel kebenaran dari  p v q dan p ^ q !

p	q	p^q	pvq
B	B	B	B
B	S	S	B
S	B	S	B
S	S	S	S

JAWABAN

-          Ayam berkembang biak dengan bertelur

-          Angka 7 adalah bilangan prima

-          Semua makhluk hidup pasti akan mati

v  IMPLIKASI

Misalkan ada 2 pernyataan p dan q, untuk menunjukkan atau membuktikan bahwa jika p bernilai maka q juga bernilai benar, diletakkan kata “JIKA” sebelum pernyataan pertama lalu diletakkan kata “MAKA” sebelum pernyataan kedua sehingga didapatkan suatu pernyataan majemuk yang disebut dengan “IMPLIKASI/PERNYATAAN BERSYARAT/KONDISIONAL/ HYPOTHETICAL dengan notasi “ =>”.

Notasi p=>q dapat dibaca :

1.      Jika p maka q

2.      q jika p

3.      p adalah syarat cukup untuk q

4.      q adalah syarat perlu untuk p

     
Contoh :

1.      p : Pak Ali adalah seorang haji.

q : Pak Ali adalah seorang muslim.

p => q : Jika Pak Ali adalah seorang haji maka dia seorang  muslim.

2.      p : Hari hujan.

q : Adi membawa payung.

Benar atau salahkah pernyataan berikut?
a. Hari benar-benar hujan dan Adi benar-benar membawa payung.
b. Hari benar-benar hujan tetapi Adi tidak membawa payung.
c. Hari tidak hujan tetapi Adi membawa payung.
d. Hari tidak hujan dan Adi tidak membawa paying

v  KONVERS, INVERS, DAN KONTRAPOSISI

Perhatikan pernytaan di bawah ini! ~  ^  v  => <=>     

“Jika suatu bendera adalah bendera RI maka ada warna merah pada bendera tersebut”

Bentuk umum implikasi di atas adalah “p => q” dengan

p : Bendera RI

q : Bendera yang ada warna merahnya.

Dari implikasi diatas dapat dibentuk tiga implikasi lainnya yaitu :

1.      KONVERS, yaitu q => p

Sehingga implikasi diatas menjadi :

“ Jika suatu bendera ada warna merahnya, maka bendera tersebut adalah bendera RI”.

2.      INVERS, yaitu ~p => ~q

Sehingga implikasi diatas menjadi :

“ Jika suatu bendera bukan bendera RI, maka pada bendera tersebut tidak ada warna merahnya”.

3.      KONTRAPOSISI, yaitu ~q => ~p

Sehingga implikasi di atas menjadi :

“ Jika suatu bendera tidak ada warna merahnya, maka bendera tersebut bukan bendera RI”.

Suatu hal yang penting dalam logika adalah kenyataan bahwa suatu implikasi selalu ekuivalen dengan kontraposisinya, akan tetapi tidak demikian halnya dengan  invers dan konversnya.

Contoh lainnya:

p: lumba-lumba adalah binatang mamalia

q: lumba-lumba adalah binatang menyusui

v  Implikasi:

Jika lumba-lumba adalah binatang mamalia maka lumba-lumba adalah binatang yang menyusui.

v  Konvers:

Jika lumba-lumba adalah binatang menyusui maka lumba-lumba adalah binatang mamalia.

v  Invers  :

Jika lumba-lumba bukan binatang mamalia maka lumba-lumba bukan binatang menyusui

v  Kontraposisi:
Jika lumba-lumba bukan binatang menusui maka lumba-lumba bukan binatang mamalia.